Cálculo del área (superficie) de un polígono cualquiera

    Hoy os propongo como resolver una cuestión interesante: ¿cómo calculo el área o superficie de cualquier polígono u conjunto de líneas rectas que forman un caminos cerrado? Interesante verdad. Aclarar que da igual que el polígono sea regular o irregular, que tenga ángulos interiores convexos o cóncavos. Una de las maneras, es el descomponer el polígono dado en polígonos más sencillos de los cuales se sepa su área o se pueda calcularla fácilmente, por ejemplo en triángulos, o paralelogramos, trapecios, etc y posteriormente sumando estas áreas obtenemos el área buscada.

    Después de invertigar un poco y rebuscar en libros de matemáticas y por internet... vamos al tajo y expliquemos el procedimiento:

1) Colocamos el polígono en un sistema cartesiano con los ejes de referencia perpendiculares: eje de abscisas (eje x) y eje de ordenadas (eje y).

2) Anotamos las coordenadas (x_i,y_i) de cada vértice (unión entre lados) del polígono.

3) Tomamos un vértice cualquiera como primero y luego siguiendo el sentido antihorario recorriendo los lados del polígono a partir de este primero vamos numerando los demás vértices. Así los vértices, según este orden, tendrán las siguientes coordenadas: (x₁,y₂), (x₂,y₂), (x₃,y₃),..., (x_N,y_N). Siendo N el último vértice. Lo podemos ver en el siguiente ejemplo en donde el orden de los vértices es A, B, C, D y E (pinchad en la imagen para verla más grande):

4) Aplicamos la técnica del Área de Gauss, mediante la cual se calcula el área como la suma de una serie de determinantes que incluyen las coordenadas de los vértices del polígono. La fórmula es la siguiente (pinchad en la imagen para verla más grande):

Sustituyendo los valores de cada (x_i,y_i) en la fómula obtenemos el área del polígono creado (pinchad en la imagen para verla más grande):

     Otras medidas de superficie, perímetro y volumen de figuras geométricas las puedes encontrar en la siguiente página web de la Wikipedia: Figuras geométricas

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     Un saludo y buenos cálculos.